Jules Gagnaire
Doctorant en mathématiques

Espace de Paley-Wiener

L'espace de Paley-Wiener \(PW_\tau\) est l'espace des fonctions entières de type exponentiel au plus \(\tau\) (ou \(2\pi\tau\), selon la convention de la transformée de Fourier) dont la restriction à la droite réelle est de carré intégrable. Cet espace apparaît naturellement dans de nombreux cadres mathématiques et physiques, notamment via le théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist, qui stipule que toute fonction de cet espace peut être parfaitement reconstruite à partir de ses évaluations sur un réseau régulier abstrait.

Un ensemble \(\Lambda \subset \mathbb{R}\) est dit de sampling pour \(PW_\tau\) s'il existe des constantes \(A, B > 0\) telles que : \[A \|f\|_{L^2}^2 \le \sum_{\lambda \in \Lambda} |f(\lambda)|^2 \le B \|f\|_{L^2}^2, \qquad \forall f \in PW_\tau.\]

De manière plus générale, cette notion s'étend aux mesures de sampling. Une mesure positive \(\mu\) est dite de sampling pour \(PW_\tau\) s'il existe des constantes \(A, B > 0\) telles que : \[A \|f\|_{L^2}^2 \le \int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \mathrm{d}\mu(x) \le B \|f\|_{L^2}^2, \qquad \forall f \in PW_\tau.\]

Frames de Gabor

Un système de Gabor est une famille de fonctions de la forme : \[\mathcal{G}(g, \Delta) = \{e^{2\pi i \lambda_2 x} g(x - \lambda_1)\}_{(\lambda_1, \lambda_2) \in \Delta}\] où \(g \in L^2(\mathbb{R})\) est appelée la fenêtre, qui en général est une fonction bien localisée (par exemple, une Gaussienne), et \(\Delta \subset \mathbb{R}^2\) est un ensemble discret de points. On dit que ce système forme une frame de Gabor pour \(L^2(\mathbb{R})\) s'il existe des constantes \(A, B > 0\) telles que pour toute fonction \(f \in L^2(\mathbb{R})\) : \[A \|f\|_{L^2}^2 \le \sum_{(\lambda_1, \lambda_2) \in \Delta} |\langle f, \{e^{2\pi i \lambda_2 .} g(. - \lambda_1) \rangle|^2 \le B \|f\|_{L^2}^2.\]

Les frames de Gabor sont documentées et s'appuient sur plusieurs piliers théoriques classiques. Pour des réseaux réguliers de la forme \(\Delta = a\mathbb{Z} \times b\mathbb{Z}\), la propriété de frame est bien étudiée grâce aux travaux de personnes tels que Daubechies, Janssen, Ron et Shen, ou encore Balian et Low.

Pour des réseaux irréguliers, ces méthodes s'effondrent (transformée de Zak), et les résultats dépendent fortement de la fenêtre spécifiée ainsi que des conditions géométriques de l'ensemble. Par exemple, Lyubarskii et Seip ont démontré que pour une fenêtre Gaussienne, le système irrégulier forme une frame si et seulement si sa densité de Beurling inférieure vérifie \(D^-(\Delta) > 1\). Plus récemment, Baranov et Belov ont établi des résultats de caractérisation exacts pour la sécante hyperbolique asymétrique sur des réseaux semi-irréguliers.

Mes thèmes de recherche

Mes intérêts de recherche portent sur la stabilité des frames de Gabor générées par des réseaux irréguliers.